فصل ۵: عبارتهای جبری
آموزش جامع، تمرین تعاملی و مرور شب امتحان — با شکلهای آموزشی و توضیحات مفهومی
پیشرفت یادگیری شما
عبارت جبری ترکیبی از اعداد، حروف (متغیر) و عملگرهای ریاضی است. حروف نشاندهنده مقادیر ناشناخته یا متغیر هستند.
اگر x=2، آنگاه:
3(2)² + 2(2)(3) − 5 = 19
- متغیر = حرف لاتین مانند x، y، a
- ضریب عدد جلوی متغیر است
- جمله = هر بخش جدا از + یا −
- درجه جمله = مجموع توانهای متغیرها
فقط جملههای «همانند» (مشابه) را میتوان جمع یا تفریق کرد. جملههای همانند دارای همان متغیر با همان توان هستند.
(3x² + 2x − 1) + (x² − 5x + 4)
= 4x² − 3x + 3
- فقط جملههای همانند را جمع کن
- توان متغیر تغییر نمیکند
- در تفریق علامت پرانتز را تغییر بده
- جملههای غیرهمانند را جدا بنویس
در ضرب عبارتهای جبری، هر جمله از عبارت اول در هر جمله از عبارت دوم ضرب میشود. توانها جمع میشوند.
(2x + 3)(x − 1)
= 2x² − 2x + 3x − 3
= 2x² + x − 3
- هر جمله را در هر جمله دیگر ضرب کن
- توانها جمع میشوند
- ضرایب در هم ضرب میشوند
- علامتها را دقیق کنترل کن
قوانین توان در جبر کمک میکنند تا عبارتهای پیچیده را ساده کنیم. این قوانین برای اعداد و متغیرها یکسان است.
xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ
(xᵐ)ⁿ = xᵐˣⁿ
(xy)ⁿ = xⁿyⁿ
x³ × x² = x⁵
x⁶ ÷ x² = x⁴
(x²)³ = x⁶
(2x)³ = 8x³
- ضرب = جمع توانها
- تقسیم = تفریق توانها
- توان از توان = ضرب توانها
- x⁰ = 1 برای هر x≠0
اتحادهای جبری فرمولهایی هستند که برای ضرب سریع عبارتهای خاص استفاده میشوند. حفظ آنها در امتحان بسیار ضروری است.
(a−b)² = a²−2ab+b²
(a+b)(a−b) = a²−b²
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
(x+3)² = x²+6x+9
(2x−1)² = 4x²−4x+1
(x+4)(x−4) = x²−16
- مربع دوجملهای: سه جمله نتیجه میدهد
- اتحاد مزدوج: فقط تفاضل مربعات
- جمله میانی: دوبرابر حاصلضرب
- اتحاد سوم: مربع + مربع نیست!
تجزیه یعنی نوشتن یک عبارت بهصورت ضرب چند عامل. عکس عمل ضرب است و کلید سادهسازی کسرهای جبری است.
۲. اتحاد: a²−b² = (a+b)(a−b)
۳. مربع کامل: a²+2ab+b² = (a+b)²
۴. گروهبندی
6x²+9x = 3x(2x+3)
x²−9 = (x+3)(x−3)
x²+6x+9 = (x+3)²
- ابتدا فاکتور مشترک بگیر
- تفاضل مربعات را سریع شناسایی کن
- مربع کامل: جمله میانی حتماً 2ab باشد
- جواب را با ضرب چک کن
عبارتهای جبری برای مدلسازی مسائل واقعی مانند محاسبه مساحت، حجم، سرعت و مسائل عددی بهکار میروند.
A = (x+2)(x+5) = x²+7x+10
اگر عددی را n بنامیم، عدد بعدی n+1 است. حاصلضرب آنها:
n(n+1) = n²+n
- متغیر را معرفی کن: فرض کن x=…
- عبارت را بنویس و ساده کن
- جواب را در مسئله چک کن
- واحدها را فراموش نکن
این بخش مهمترین نکاتی است که در امتحانات ریاضی پایه نهم بیشترین اشتباه را ایجاد میکند.
- (a+b)² ≠ a²+b² اشتباه رایج!
- x⁰ = ۱ نه صفر
- فاکتور مشترک را حذف نکن
- علامت منفی در پرانتز مهم است
- تجزیه کامل تا انتها ادامه دهد
- درجه عبارت = بالاترین توان
تجزیه کامل: 2x³−8x
= 2x(x²−4)
= 2x(x+2)(x−2) ✓
اشتباه: 2x(x²−4) ✗
(باید تا آخر تجزیه شود!)
نوع محاسبه را انتخاب کن، مقادیر را وارد کن و نتیجه را ببین!