⚡ داشبورد شیشهای توان
فصل توان ریاضی نهم – نقشهی تسلط مرحلهبهمرحله
🎯
هدف: تسلط ۱۰۰٪ بدون وابستگی به پاسخنامه
✅ پیشرفت ذخیره شد (آفلاین)
درصد تکمیل فصل توان:
0%
📖
0%
شاخص تسلط
شاخص تسلط بر توان
این دایره نشان میدهد چقدر روی مفاهیم پایهٔ توان، قوانین آن، توانهای منفی و صفر و سادهسازی عبارات تواندار مسلط شدهای. هر بار که یک مهارت را تیک میزنی، نوار رنگی یک گام به دور کامل نزدیکتر میشود.
هدف این است که بدون وابستگی به پاسخنامه، سوالات ترکیبی و امتحانی این فصل را مرحلهبهمرحله با استدلال کامل حل کنی؛ یعنی رسیدن به ۱۰۰٪ تسلط.
مفهوم پایهٔ توان
درسنامه:
عبارت \(a^n\) یعنی عدد \(a\) را \(n\) بار در خودش ضرب کنیم؛ به \(a\) «پایه» و به \(n\) «توان» میگوییم.
- \(2^3 = 2\times 2\times 2 = 8\).
- \(5^2 = 5\times 5 = 25\).
- \(10^3 = 10\times 10\times 10 = 1000\).
- \(3^4 = 3\times 3\times 3\times 3 = 81\).
توانهای صفر و یک
درسنامه:
هر عدد غیرصفر به توان یک برابر خود عدد است و هر عدد غیرصفر به توان صفر برابر ۱ میشود.
- \(7^1 = 7\)، \(100^1 = 100\).
- \(5^0 = 1\)، \(10^0 = 1\)، \((-3)^0 = 1\).
- فقط \(0^0\) تعریفنشده است.
- اگر پایه منفی باشد و توان فرد، نتیجه منفی است؛ مثل \((-2)^3 = -8\).
ضرب توانها (پایه برابر)
درسنامه:
وقتی پایه یکی است، در ضرب توانها توانها را با هم جمع میکنیم: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).
- \(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\).
- \(5^2 \times 5^3 = 5^5\).
- \(10^1 \times 10^2 = 10^3 = 1000\).
- \(3^4 \times 3 = 3^{4+1} = 3^5\).
تقسیم توانها (پایه برابر)
درسنامه:
وقتی پایه یکی است، در تقسیم توانها توانها را از هم کم میکنیم: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (به شرط \(a\neq 0\)).
- \(\dfrac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3 = 8\).
- \(\dfrac{7^4}{7} = 7^{4-1} = 7^3\).
- \(\dfrac{10^6}{10^3} = 10^{3} = 1000\).
- \(\dfrac{5^3}{5^3} = 5^{0} = 1\).
توانِ توان
درسنامه:
اگر یک توان، دوباره به توان برسد، توانها را در هم ضرب میکنیم: \((a^m)^n = a^{m\times n}\).
- \((2^3)^2 = 2^{3\times 2} = 2^6\).
- \((5^2)^3 = 5^{6}\).
- \((10^1)^4 = 10^{4} = 10000\).
- \((3^2)^5 = 3^{10}\).
توان منفی و کسرها
درسنامه:
توان منفی یعنی معکوس توان مثبت: \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) و برای کسرها، توان روی صورت و مخرج پخش میشود.
- \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\).
- \(5^{-1} = \dfrac{1}{5}\).
- \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}\).
- \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}\).
عبارات جبریِ تواندار
درسنامه:
در عبارات جبری تواندار، قوانین توان را مثل اعداد روی متغیرها هم اعمال میکنیم.
- \(x^2 \times x^3 = x^{2+3} = x^5\).
- \(\dfrac{y^5}{y^2} = y^{3}\).
- \((a^2b)^3 = a^{6}b^{3}\).
- \((2x)^3 = 8x^3\).
توان و نمایش اعداد بزرگ
درسنامه:
برای نوشتن اعداد خیلی بزرگ یا خیلی کوچک از توان ۱۰ استفاده میکنیم؛ مثل نماد علمی.
- \(1000 = 10^3\)، \(1000000 = 10^6\).
- \(0.01 = 10^{-2}\)، \(0.0001 = 10^{-4}\).
- \(3\times 10^4 = 30000\).
- \(5\times 10^{-3} = 0.005\).
حل نمونهسوالات ترکیبی توان
درسنامه:
این بخش ترکیبی از همه قوانین توان است: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توانِ توان روی اعداد و عبارات جبری.
- \(2^3 \times 2^5 \div 2^4 = 2^{3+5-4} = 2^4 = 16\).
- \((3^2)^3 \div 3^4 = 3^{6-4} = 3^2 = 9\).
- \(\dfrac{5^3\times 5^{-1}}{5^2} = 5^{3-1-2} = 5^0 = 1\).
- \(\left(\dfrac{2x^2}{x}\right)^3 = (2x)^3 = 8x^3\).