فصل سوم: استدلال و اثبات در هندسه
ریاضی پایه نهم | آموزش تعاملی، تمرین و مرور جامع
📐 پایه نهم
پیشرفت کلی شما
۰٪
۰ مبحث تکمیلشده
۸ مبحث باقیمانده
📖 تعریف و مفهوم
استدلال یعنی از یک سری گزارههای صحیح (که به آنها مقدمه میگویند)، با استفاده از قوانین منطق، یک گزاره جدید (که نتیجه نامیده میشود) را اثبات کنیم. در هندسه، استدلال ابزار اصلی اثبات قضایا است.
🔢 انواع استدلال
استدلال استقرایی: از خاص → کلی
استدلال قیاسی: از کلی → خاص در هندسه، استدلال قیاسی اصلیترین روش اثبات است.
استدلال قیاسی: از کلی → خاص در هندسه، استدلال قیاسی اصلیترین روش اثبات است.
✅ مثال کاربردی
مثال
مقدمه ۱: هر مثلث متساویالاضلاع، سه زاویه مساوی دارد.
مقدمه ۲: مثلث ABC متساویالاضلاع است.
مقدمه ۲: مثلث ABC متساویالاضلاع است.
نتیجه: پس مثلث ABC سه زاویه مساوی دارد.
⚡ نکات امتحانی
نکات مهم برای امتحان
- استدلال همیشه از مقدمات صحیح شروع میشود.
- در هندسه، قضایا و اصل موضوعها بهعنوان مقدمه استفاده میشوند.
- استدلال قیاسی یعنی اگر A→B و B→C باشد، پس A→C است.
- خطای رایج: فرض کردن چیزی که باید اثبات شود (دور در استدلال).
📋 جمعبندی
جمعبندی
استدلال = گرفتن نتیجه درست از مقدمات درست با منطق. در هندسه از روش قیاسی استفاده میکنیم: اول فرض را مینویسیم، سپس قدم به قدم با استفاده از قضایا، نتیجه را اثبات میکنیم.
📖 ساختار اثبات
اثبات هندسی از سه بخش اصلی تشکیل میشود: داده (فرض)، مطلوب (حکم) و زنجیره استدلال. هر گام از اثبات باید با ذکر دلیل (قضیه، تعریف یا اصل موضوع) همراه باشد.
🔢 قالب استاندارد اثبات
داده: (فرضهای مسئله را بنویس)
مطلوب: (چه چیزی باید اثبات شود)
اثبات: گام ۱ ← دلیل ۱
گام ۲ ← دلیل ۲
... ← نتیجه این ساختار را در همه اثباتهای هندسه بهکار ببر.
مطلوب: (چه چیزی باید اثبات شود)
اثبات: گام ۱ ← دلیل ۱
گام ۲ ← دلیل ۲
... ← نتیجه این ساختار را در همه اثباتهای هندسه بهکار ببر.
✅ مثال کاربردی
مثال
داده: AB = CD و BC = BC
مطلوب: اثبات کنید AC = BD
اثبات:
گام ۱: AB + BC = AC (تعریف فاصله روی خط)
گام ۲: CD + BC = BD (تعریف فاصله روی خط)
گام ۳: AB = CD (فرض مسئله)
مطلوب: اثبات کنید AC = BD
اثبات:
گام ۱: AB + BC = AC (تعریف فاصله روی خط)
گام ۲: CD + BC = BD (تعریف فاصله روی خط)
گام ۳: AB = CD (فرض مسئله)
نتیجه: AB + BC = CD + BC ⟹ AC = BD ✓
⚡ نکات امتحانی
نکات مهم برای امتحان
- هرگز فرض را با مطلوب اشتباه نگیر؛ داده = فرض، مطلوب = نتیجه.
- دلیل هر گام باید صریح ذکر شود (نام قضیه یا تعریف).
- از نمادها (=، ≅، ∥، ⊥) درست استفاده کن.
- شکل هندسی رسم کن تا اثبات آسانتر شود.
📋 جمعبندی
جمعبندی
اثبات هندسی = داده + مطلوب + زنجیره منطقی. هر گام باید دلیل داشته باشد. ساختار را رعایت کن تا نمره کامل بگیری.
📖 قواعد پایه
در هندسه از چند قانون منطقی اساسی استفاده میکنیم که اساس هر استدلالی هستند.
🔢 قوانین اصلی
قانون وضع (Modus Ponens):
اگر P→Q و P صحیح باشد، پس Q صحیح است
قانون رفع (Modus Tollens):
اگر P→Q و Q غلط باشد، پس P غلط است
قانون انتقال:
اگر P→Q و Q→R، پس P→R این سه قانون اساس اثبات در هندسه هستند.
اگر P→Q و P صحیح باشد، پس Q صحیح است
قانون رفع (Modus Tollens):
اگر P→Q و Q غلط باشد، پس P غلط است
قانون انتقال:
اگر P→Q و Q→R، پس P→R این سه قانون اساس اثبات در هندسه هستند.
✅ مثال کاربردی
مثال با قانون وضع
P: مثلث ABC متساویالاضلاع است.
قانون: هر مثلث متساویالاضلاع، متساویالساقین هم هست. (P→Q)
قانون: هر مثلث متساویالاضلاع، متساویالساقین هم هست. (P→Q)
نتیجه: مثلث ABC متساویالساقین است. (Q)
⚡ نکات امتحانی
نکات مهم
- در هندسه، تعریفها، اصول موضوعه و قضایای اثباتشده مقدمات ما هستند.
- قانون انتقال در اثباتهای زنجیرهای خیلی کاربرد دارد.
- عکس یک قانون همیشه درست نیست (دقت کن!).
- اگر A=B و B=C باشد، پس A=C (خاصیت تعدی تساوی).
📋 جمعبندی
جمعبندی
سه قانون اصلی: وضع (از A و A→B نتیجه میگیریم B)، رفع (از نقیض نتیجه میگیریم نقیض مقدمه)، انتقال (زنجیر کردن قوانین). خاصیت تعدی تساوی را هم فراموش نکن.
📖 تعریف همنهشتی
دو مثلث همنهشت هستند اگر بشود یکی را روی دیگری قرار داد بهطوری که کاملاً بر هم منطبق شوند. یعنی اضلاع متناظر مساوی و زوایای متناظر مساوی باشند.
🔢 چهار حالت همنهشتی
ح.ز.ح → ضلع، زاویه، ضلع
ز.ح.ز → زاویه، ضلع، زاویه
ح.ح.ح → ضلع، ضلع، ضلع
ح.ح.ز → ضلع، ضلع، زاویه (فقط زاویه قائمه) نماد همنهشتی: ≅ | ترتیب رأسها مهم است!
ز.ح.ز → زاویه، ضلع، زاویه
ح.ح.ح → ضلع، ضلع، ضلع
ح.ح.ز → ضلع، ضلع، زاویه (فقط زاویه قائمه) نماد همنهشتی: ≅ | ترتیب رأسها مهم است!
✅ مثال کاربردی
مثال حالت ح.ز.ح
در دو مثلث ABC و DEF:
AB = DE (ضلع)
زاویه B = زاویه E (زاویه)
BC = EF (ضلع)
AB = DE (ضلع)
زاویه B = زاویه E (زاویه)
BC = EF (ضلع)
نتیجه: △ABC ≅ △DEF (حالت ح.ز.ح)
⚡ نکات امتحانی
نکات مهم برای امتحان
- ز.ز.ح (سه زاویه مساوی) همنهشتی را اثبات نمیکند، فقط تشابه را!
- در حالت ح.ح.ز، زاویه باید مقابل یکی از دو ضلع دادهشده باشد.
- ترتیب رأسها در نوشتن △ABC ≅ △DEF بسیار مهم است.
- پس از اثبات همنهشتی، اضلاع و زوایای متناظر مساویاند.
📋 جمعبندی
جمعبندی
چهار حالت همنهشتی را حفظ کن: ح.ز.ح، ز.ح.ز، ح.ح.ح، ح.ح.ز (فقط برای قائمه). بعد از همنهشتی، میتوانی اضلاع و زوایای متناظر را مساوی بدانی.
📖 تعریف تشابه
دو مثلث متشابه هستند اگر زوایای متناظرشان مساوی باشند و اضلاع متناظرشان نسبت یکسانی داشته باشند. تشابه شکل را حفظ میکند اما اندازه تغییر میکند.
🔢 شرایط تشابه مثلثها
ز.ز → دو زاویه متناظر مساوی
ح.ح.ح → نسبت اضلاع متناظر مساوی
ح.ز.ح → دو ضلع متناسب + زاویه بین آنها مساوی
نماد تشابه: ~ (مثال: △ABC ~ △DEF) تشابه عمومیتر از همنهشتی است.
ح.ح.ح → نسبت اضلاع متناظر مساوی
ح.ز.ح → دو ضلع متناسب + زاویه بین آنها مساوی
نماد تشابه: ~ (مثال: △ABC ~ △DEF) تشابه عمومیتر از همنهشتی است.
✅ مثال کاربردی
مثال تشابه
△ABC با اضلاع ۳، ۴، ۵ و △DEF با اضلاع ۶، ۸، ۱۰
نسبت: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2 ✓
نسبت: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2 ✓
نتیجه: △ABC ~ △DEF با ضریب تشابه ½
⚡ نکات امتحانی
نکات مهم
- هر دو مثلث همنهشت، متشابه هم هستند (عکس آن لزوماً درست نیست).
- در مثلث قائمالزاویه، ارتفاع از رأس قائمه دو مثلث متشابه میسازد.
- مجموع زوایای هر مثلث ۱۸۰ درجه است — پس دو زاویه مساوی کافی است.
- ضریب تشابه را با k نشان میدهیم.
📋 جمعبندی
جمعبندی
تشابه = شکل یکسان + اندازه متفاوت. سه حالت تشابه: ز.ز، ح.ح.ح (نسبتها)، ح.ز.ح. بعد از تشابه، نسبت اضلاع متناظر برابر ضریب تشابه k است.
📖 نسبت تشابه
اگر دو مثلث متشابه باشند، نسبت اضلاع متناظر آنها برابر است. این نسبت مشترک را ضریب تشابه (k) مینامیم. مربع ضریب تشابه، نسبت مساحتها را میدهد.
🔢 فرمولهای نسبت تشابه
△ABC ~ △DEF ⟹
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
نسبت محیطها = k
نسبت مساحتها = k² k = ضریب تشابه | اگر k=1 پس همنهشتاند
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
نسبت محیطها = k
نسبت مساحتها = k² k = ضریب تشابه | اگر k=1 پس همنهشتاند
✅ مثال کاربردی
محاسبه ضلع ناشناخته
△ABC ~ △DEF
AB = 6 سانتیمتر، DE = 9 سانتیمتر، BC = 4 سانتیمتر
EF = ؟
k = 9/6 = 3/2
EF = BC × k = 4 × (3/2) = 6 سانتیمتر
AB = 6 سانتیمتر، DE = 9 سانتیمتر، BC = 4 سانتیمتر
EF = ؟
k = 9/6 = 3/2
EF = BC × k = 4 × (3/2) = 6 سانتیمتر
پاسخ: EF = ۶ سانتیمتر
⚡ نکات امتحانی
نکات مهم
- نسبت اضلاع متناظر را از مثلث اول به دوم همیشه به یک ترتیب بنویس.
- نسبت مساحت = k² (مربع ضریب تشابه).
- نسبت ارتفاعها = k (مثل اضلاع).
- اگر k = 3/2 باشد، مثلث دوم ۵۰٪ بزرگتر است.
📋 جمعبندی
جمعبندی
ضریب تشابه k = نسبت اضلاع متناظر. محیطها نسبت k دارند، مساحتها نسبت k² دارند. با k میتوان ضلع ناشناخته را حساب کرد.
🔢 قضیه فیثاغورس و عکس آن
در مثلث قائمالزاویه ABC (زاویه B = 90°):
AC² = AB² + BC²
عکس: اگر AC² = AB² + BC² باشد،
مثلث ABC قائمالزاویه است. وتر = ضلع روبهروی زاویه قائمه
AC² = AB² + BC²
عکس: اگر AC² = AB² + BC² باشد،
مثلث ABC قائمالزاویه است. وتر = ضلع روبهروی زاویه قائمه
🔢 قضیه زاویه خارجی مثلث
زاویه خارجی = مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور
زاویه خارجی > هر یک از دو زاویه داخلی غیر مجاور کاربرد: در اثباتهای نامساوی زوایا
زاویه خارجی > هر یک از دو زاویه داخلی غیر مجاور کاربرد: در اثباتهای نامساوی زوایا
🔢 قضیه تالس
خطی موازی با قاعده مثلث، اضلاع را به نسبت مساوی تقسیم میکند:
DE ∥ BC ⟹ AD/DB = AE/EC
و △ADE ~ △ABC قضیه تالس پایه تشابه مثلثهاست.
DE ∥ BC ⟹ AD/DB = AE/EC
و △ADE ~ △ABC قضیه تالس پایه تشابه مثلثهاست.
🔢 قضیه میانه
خط میانهای که وسط دو ضلع مثلث را به هم وصل میکند:
• موازی با ضلع سوم است
• نصف ضلع سوم است خط میانه: وصل وسط دو ضلع
• موازی با ضلع سوم است
• نصف ضلع سوم است خط میانه: وصل وسط دو ضلع
⚡ نکات امتحانی
نکات مهم برای امتحان
- عکس قضیه فیثاغورس برای تشخیص مثلث قائمالزاویه خیلی کاربرد دارد.
- قضیه تالس برای محاسبه طول بخشهای موازی کاربرد مستقیم دارد.
- هر سه میانه مثلث در یک نقطه (مرکز ثقل) تقاطع دارند.
- زاویه خارجی در هر رأس = ۱۸۰° - زاویه داخلی همان رأس.
📋 جمعبندی
جمعبندی
قضایای کلیدی: فیثاغورس (وتر²=مجموع مربعها)، زاویه خارجی (=مجموع دو زاویه غیر مجاور)، تالس (موازی = نسبت مساوی)، خط میانه (موازی قاعده و نصف آن).
📖 استراتژی حل مسئله
حل مسائل هندسی یک مهارت است که با تمرین بهتر میشود. یک روش مطمئن و گامبهگام وجود دارد که در هر مسئلهای کمک میکند.
🔢 گامهای حل مسئله
۱. شکل دقیق رسم کن
۲. دادهها را روی شکل علامت بزن
۳. مطلوب را مشخص کن
۴. قضیه یا حالت مناسب را شناسایی کن
۵. زنجیره استدلال را بنویس
۶. نتیجه را اعلام کن این ۶ گام را همیشه در اثباتها بهکار ببر.
۲. دادهها را روی شکل علامت بزن
۳. مطلوب را مشخص کن
۴. قضیه یا حالت مناسب را شناسایی کن
۵. زنجیره استدلال را بنویس
۶. نتیجه را اعلام کن این ۶ گام را همیشه در اثباتها بهکار ببر.
✅ مثال کاربردی
مثال: اثبات تساوی اضلاع
داده: در △ABC، نیمساز زاویه A بر BC عمود است. (AD⊥BC, AD نیمساز زاویه A)
مطلوب: اثبات کنید AB = AC
گام ۱: در △ABD و △ACD، زاویه BAD = زاویه CAD (نیمساز)
گام ۲: AD = AD (ضلع مشترک)
گام ۳: زاویه ADB = زاویه ADC = 90° (فرض)
مطلوب: اثبات کنید AB = AC
گام ۱: در △ABD و △ACD، زاویه BAD = زاویه CAD (نیمساز)
گام ۲: AD = AD (ضلع مشترک)
گام ۳: زاویه ADB = زاویه ADC = 90° (فرض)
نتیجه: △ABD ≅ △ACD (ز.ح.ز) ⟹ AB = AC ✓
⚡ نکات امتحانی
نکات مهم
- شکل رسم کن! بدون شکل حل مسئله خیلی سختتر است.
- اول فکر کن کدام قضیه یا حالت همنهشتی کمک میکند.
- نقطه مشترک یا ضلع مشترک را در هر دو مثلث شناسایی کن.
- هر ادعا باید دلیل داشته باشد (قضیه + شماره یا نام).
📋 جمعبندی
جمعبندی
روش حل: رسم شکل → علامتگذاری → تشخیص روش → زنجیره استدلال → نتیجه. هرگز بدون ذکر دلیل، گام برنداری.
c² = a² + b²
c وتر است (ضلع روبهروی زاویه قائمه). برای تشخیص قائمالزاویه هم کاربرد دارد.
ح.ز.ح | ز.ح.ز | ح.ح.ح | ح.ح.ز (قائمه)
چهار حالت همنهشتی. ترتیب رأسها در نوشتن △ABC ≅ △DEF مهم است.
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
k = ضریب تشابه. نسبت محیطها = k، نسبت مساحتها = k².
∠خارجی = ∠A + ∠B (دو زاویه غیر مجاور)
زاویه خارجی از هر یک از دو زاویه داخلی غیر مجاور بزرگتر است.
DE ∥ BC ⟹ AD/DB = AE/EC
خط موازی با قاعده مثلث، اضلاع را به نسبت مساوی تقسیم میکند.
MN ∥ BC & MN = BC/2
خط میانه وسط دو ضلع را وصل میکند، موازی ضلع سوم و نصف آن است.
∠A + ∠B + ∠C = 180°
مجموع زوایای داخلی هر مثلث ۱۸۰ درجه است. این یک اصل پایهای است.
h² = p × q & a² = p × c & b² = q × c
h ارتفاع از رأس قائمه، p و q دو قسمت وتر، a و b پاها و c وتر هستند.
۱
در همنهشتی مثلثها، حالت «ح.ز.ح» به چه معنی است؟
۲
اگر △ABC ~ △DEF و ضریب تشابه k = ۲/۳ باشد، نسبت مساحتها چقدر است؟
۳
در مثلث ABC، زاویه خارجی رأس C برابر ۱۲۰ درجه است. اگر زاویه A = ۵۰ درجه باشد، زاویه B چند درجه است؟
۴
کدام حالت زیر بهتنهایی همنهشتی دو مثلث را ثابت نمیکند؟
۵
در مثلث ABC، DE ∥ BC. اگر AD = 4 و DB = 6 و AE = 3 باشد، EC چند است؟
۶
در مثلث قائمالزاویهای، دو ضلع قائمه ۳ و ۴ سانتیمتر هستند. وتر چند سانتیمتر است؟
۷
خط میانهای که وسط دو ضلع مثلث را به هم وصل میکند، چه ویژگیای دارد؟
۸
در روش اثبات هندسی، «مطلوب» به چه چیزی گفته میشود؟
نتیجه آزمون شما
سؤال تشریحی ۱
در △ABC، M وسط AB و N وسط AC است. اثبات کنید که MN ∥ BC و MN = BC/2.
داده: M وسط AB، N وسط AC در △ABC
مطلوب: MN ∥ BC و MN = BC/2
اثبات:
گام ۱: چون M وسط AB است: AM = MB = AB/2
گام ۲: چون N وسط AC است: AN = NC = AC/2
گام ۳: نسبت AM/AB = AN/AC = 1/2 (از گامهای ۱ و ۲)
گام ۴: زاویه A مشترک است.
گام ۵: طبق حالت ح.ز.ح تشابه ⟹ △AMN ~ △ABC با k = 1/2
گام ۶: زاویه AMN = زاویه ABC ⟹ MN ∥ BC (زوایای متناظر مساوی)
گام ۷: MN/BC = k = 1/2 ⟹ MN = BC/2 ✓
مطلوب: MN ∥ BC و MN = BC/2
اثبات:
گام ۱: چون M وسط AB است: AM = MB = AB/2
گام ۲: چون N وسط AC است: AN = NC = AC/2
گام ۳: نسبت AM/AB = AN/AC = 1/2 (از گامهای ۱ و ۲)
گام ۴: زاویه A مشترک است.
گام ۵: طبق حالت ح.ز.ح تشابه ⟹ △AMN ~ △ABC با k = 1/2
گام ۶: زاویه AMN = زاویه ABC ⟹ MN ∥ BC (زوایای متناظر مساوی)
گام ۷: MN/BC = k = 1/2 ⟹ MN = BC/2 ✓
سؤال تشریحی ۲
اثبات کنید که اگر در مثلث ABC، نیمساز زاویه A بر قاعده BC عمود باشد، آنگاه مثلث ABC متساویالساقین است.
داده: AD نیمساز زاویه A است و AD ⊥ BC
مطلوب: AB = AC
اثبات:
گام ۱: در △ABD و △ACD
گام ۲: زاویه BAD = زاویه CAD (AD نیمساز زاویه A — فرض)
گام ۳: AD = AD (ضلع مشترک)
گام ۴: زاویه ADB = زاویه ADC = 90° (AD ⊥ BC — فرض)
گام ۵: △ABD ≅ △ACD (حالت ز.ح.ز)
نتیجه: AB = AC (اضلاع متناظر در مثلثهای همنهشت) ✓
مطلوب: AB = AC
اثبات:
گام ۱: در △ABD و △ACD
گام ۲: زاویه BAD = زاویه CAD (AD نیمساز زاویه A — فرض)
گام ۳: AD = AD (ضلع مشترک)
گام ۴: زاویه ADB = زاویه ADC = 90° (AD ⊥ BC — فرض)
گام ۵: △ABD ≅ △ACD (حالت ز.ح.ز)
نتیجه: AB = AC (اضلاع متناظر در مثلثهای همنهشت) ✓
سؤال تشریحی ۳
در △ABC قائمالزاویه در B، ارتفاع BH را از B بر AC رسم میکنیم. اثبات کنید که △ABH ~ △ABC.
داده: زاویه B = 90° در △ABC، BH ⊥ AC
مطلوب: △ABH ~ △ABC
اثبات:
گام ۱: در △ABH و △ABC
گام ۲: زاویه A = زاویه A (مشترک)
گام ۳: زاویه AHB = زاویه ABC = 90° (فرض BH⊥AC و زاویه B=90°)
گام ۴: مجموع زوایا = 180° ⟹ زاویه سوم هم مساوی است.
نتیجه: △ABH ~ △ABC (حالت ز.ز) ✓
نتایج مهم این تشابه: AB² = AH × AC و BH² = AH × HC
مطلوب: △ABH ~ △ABC
اثبات:
گام ۱: در △ABH و △ABC
گام ۲: زاویه A = زاویه A (مشترک)
گام ۳: زاویه AHB = زاویه ABC = 90° (فرض BH⊥AC و زاویه B=90°)
گام ۴: مجموع زوایا = 180° ⟹ زاویه سوم هم مساوی است.
نتیجه: △ABH ~ △ABC (حالت ز.ز) ✓
نتایج مهم این تشابه: AB² = AH × AC و BH² = AH × HC
سؤال تشریحی ۴
اثبات کنید که در هر مثلث، زاویه خارجی هر رأس برابر مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور است.
داده: مثلث ABC، زاویه خارجی در C را ∠ACD بنامیم (D روی امتداد BC)
مطلوب: ∠ACD = ∠A + ∠B
اثبات:
گام ۱: مجموع زوایای △ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
گام ۲: زاویه ∠C + ∠ACD = 180° (زوایای مکمل روی خط مستقیم)
گام ۳: از گام ۱: ∠A + ∠B = 180° - ∠C
گام ۴: از گام ۲: ∠ACD = 180° - ∠C
نتیجه: ∠ACD = ∠A + ∠B ✓
مطلوب: ∠ACD = ∠A + ∠B
اثبات:
گام ۱: مجموع زوایای △ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
گام ۲: زاویه ∠C + ∠ACD = 180° (زوایای مکمل روی خط مستقیم)
گام ۳: از گام ۱: ∠A + ∠B = 180° - ∠C
گام ۴: از گام ۲: ∠ACD = 180° - ∠C
نتیجه: ∠ACD = ∠A + ∠B ✓
🌙 مرور سریع شب امتحان
روی هر کارت کلیک کن تا جواب نمایش داده شود. همه نکات مهم فصل سوم در این بخش جمعشدهاند.
همنهشتی
چهار حالت همنهشتی مثلثها را نام ببر.
👆 کلیک برای جواب
۱. ح.ز.ح (ضلع، زاویه، ضلع)
۲. ز.ح.ز (زاویه، ضلع، زاویه)
۳. ح.ح.ح (سه ضلع)
۴. ح.ح.ز (فقط برای مثلث قائمالزاویه)
۲. ز.ح.ز (زاویه، ضلع، زاویه)
۳. ح.ح.ح (سه ضلع)
۴. ح.ح.ز (فقط برای مثلث قائمالزاویه)
تشابه
فرق تشابه و همنهشتی چیست؟
👆 کلیک برای جواب
همنهشتی: شکل و اندازه یکسان (k=1)
تشابه: فقط شکل یکسان، اندازه با ضریب k تغییر میکند. هر همنهشتی، تشابه هم هست ولی عکسش لزوماً درست نیست.
تشابه: فقط شکل یکسان، اندازه با ضریب k تغییر میکند. هر همنهشتی، تشابه هم هست ولی عکسش لزوماً درست نیست.
فیثاغورس
قضیه فیثاغورس را بیان کن.
👆 کلیک برای جواب
در مثلث قائمالزاویه، مجذور وتر برابر مجموع مجذور دو ضلع دیگر است:
c² = a² + b²
عکس آن هم درست است.
c² = a² + b²
عکس آن هم درست است.
نسبت تشابه
نسبت مساحت دو مثلث متشابه با ضریب k چقدر است؟
👆 کلیک برای جواب
نسبت مساحتها = k²
مثال: اگر k = 2/3 باشد، نسبت مساحتها = 4/9 است.
نسبت محیطها = k
مثال: اگر k = 2/3 باشد، نسبت مساحتها = 4/9 است.
نسبت محیطها = k
تالس
قضیه تالس چه میگوید؟
👆 کلیک برای جواب
اگر DE ∥ BC در △ABC باشد:
AD/DB = AE/EC
یعنی خط موازی با قاعده، اضلاع دیگر را به نسبت مساوی تقسیم میکند.
AD/DB = AE/EC
یعنی خط موازی با قاعده، اضلاع دیگر را به نسبت مساوی تقسیم میکند.
زاویه خارجی
زاویه خارجی مثلث چه ویژگی دارد؟
👆 کلیک برای جواب
زاویه خارجی = مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور
زاویه خارجی از هر یک از آن دو زاویه بزرگتر است.
مثال: زاویه خارجی در C = ∠A + ∠B
زاویه خارجی از هر یک از آن دو زاویه بزرگتر است.
مثال: زاویه خارجی در C = ∠A + ∠B
خط میانه
خط میانه مثلث چه خاصیتهایی دارد؟
👆 کلیک برای جواب
خطی که وسط دو ضلع را به هم وصل میکند:
• موازی ضلع سوم است
• نصف ضلع سوم است
نتیجه: △کوچک متشابه با △بزرگ است (k = 1/2)
• موازی ضلع سوم است
• نصف ضلع سوم است
نتیجه: △کوچک متشابه با △بزرگ است (k = 1/2)
استدلال
تفاوت استدلال استقرایی و قیاسی چیست؟
👆 کلیک برای جواب
استقرایی: از موارد خاص به نتیجه کلی میرسیم (ممکن است اشتباه باشد)
قیاسی: از کلی به خاص میرسیم (قطعی است)
در هندسه از روش قیاسی استفاده میکنیم.
قیاسی: از کلی به خاص میرسیم (قطعی است)
در هندسه از روش قیاسی استفاده میکنیم.
اثبات
ساختار یک اثبات هندسی استاندارد چگونه است؟
👆 کلیک برای جواب
۱. داده (فرض) → اطلاعات مسئله
۲. مطلوب (حکم) → چه چیزی باید اثبات شود
۳. اثبات → زنجیره گامهای منطقی، هر گام با دلیل
۲. مطلوب (حکم) → چه چیزی باید اثبات شود
۳. اثبات → زنجیره گامهای منطقی، هر گام با دلیل
مثلث قائمه
رابطه ارتفاع مثلث قائمالزاویه از رأس قائمه چیست؟
👆 کلیک برای جواب
اگر BH ارتفاع بر AC باشد:
BH² = AH × HC
AB² = AH × AC
BC² = HC × AC
این روابط از تشابه دو مثلث کوچک با △اصلی بهدست میآیند.
BH² = AH × HC
AB² = AH × AC
BC² = HC × AC
این روابط از تشابه دو مثلث کوچک با △اصلی بهدست میآیند.
شرط تشابه
سه حالت تشابه مثلثها را نام ببر.
👆 کلیک برای جواب
۱. ز.ز → دو زاویه مساوی (سومی خودبهخود مساوی میشود)
۲. ح.ح.ح → نسبت سه ضلع متناظر مساوی
۳. ح.ز.ح → دو ضلع متناسب + زاویه بین آنها مساوی
۲. ح.ح.ح → نسبت سه ضلع متناظر مساوی
۳. ح.ز.ح → دو ضلع متناسب + زاویه بین آنها مساوی
نکته مهم
چرا «سه زاویه مساوی» (ز.ز.ز) همنهشتی را ثابت نمیکند؟
👆 کلیک برای جواب
چون ممکن است دو مثلث همین زوایا را داشته باشند ولی اندازههایشان فرق کند. ز.ز.ز فقط تشابه را ثابت میکند (شکل یکسان)، نه همنهشتی (شکل و اندازه یکسان).
برگ تقلب فصل سوم (برای مرور آخر)
همنهشتی
ح.ز.ح ← ✓
ز.ح.ز ← ✓
ح.ح.ح ← ✓
ح.ح.ز قائمه ← ✓
ز.ز.ز ← ✗
ز.ح.ز ← ✓
ح.ح.ح ← ✓
ح.ح.ز قائمه ← ✓
ز.ز.ز ← ✗
تشابه
ز.ز ← ✓
ح.ح.ح نسبت ← ✓
ح.ز.ح نسبت ← ✓
نسبت مساحت = k²
نسبت محیط = k
ح.ح.ح نسبت ← ✓
ح.ز.ح نسبت ← ✓
نسبت مساحت = k²
نسبت محیط = k
فرمولها
c² = a² + b²
∠ext = ∠A + ∠B
MN = BC/2
BH² = AH·HC
∠ext = ∠A + ∠B
MN = BC/2
BH² = AH·HC
تالس
DE ∥ BC ⟹
AD/DB = AE/EC
△ADE ~ △ABC
k = AD/AB
AD/DB = AE/EC
△ADE ~ △ABC
k = AD/AB