⚡ داشبورد شیشهای توان
فصل توان ریاضی نهم – نقشهی تسلط مرحلهبهمرحله
🎯
هدف: تسلط ۱۰۰٪ بدون وابستگی به پاسخنامه
✅ پیشرفت ذخیره شد (آفلاین)
درصد تکمیل فصل توان:
0%
📖
0%
شاخص تسلط
شاخص تسلط بر توان
این دایره نشان میدهد چقدر روی مفاهیم پایهٔ توان، قوانین آن، توانهای منفی و صفر و سادهسازی عبارات تواندار مسلط شدهای. هر بار که یک مهارت را تیک میزنی، نوار رنگی یک گام به دور کامل نزدیکتر میشود.
هدف این است که بدون وابستگی به پاسخنامه، سوالات ترکیبی و امتحانی این فصل را مرحلهبهمرحله با استدلال کامل حل کنی؛ یعنی رسیدن به ۱۰۰٪ تسلط.
قضیهٔ فیثاغورس
درسنامه:
در هر مثلث قائمالزاویه، مجموع مربع دو ضلع قائم برابر مربع وتر است؛ اگر ضلعهای قائم \(a\) و \(b\) و وتر \(c\) باشد، آنگاه \(a^2 + b^2 = c^2\).
- اگر \(a = 3\) و \(b = 4\)، آنگاه \(c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) و در نتیجه \(c = 5\).
- برعکس، اگر در مثلثی سه ضلع طوری باشند که \(a^2 + b^2 = c^2\)، میتوان نتیجه گرفت مثلث قائمالزاویه است.
- از فیثاغورس برای پیدا کردن ارتفاع، قطر، شعاع و فاصلهٔ بین دو نقطه روی صفحهٔ مختصات استفاده میشود.
- فرمول فاصله بین دو نقطه \((x_1, y_1)\) و \((x_2, y_2)\) از همین قضیه بهدست میآید: \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
حجم و مساحت کره
درسنامه:
اگر شعاع کره را با \(r\) نشان دهیم، مساحت سطح و حجم آن بهترتیب با فرمولهای \(S = 4\pi r^2\) و \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) محاسبه میشوند.
- مثال: اگر \(r = 3\)، آنگاه \(S = 4\pi\times 3^2 = 36\pi\) و \(V = \frac{4}{3}\pi\times 3^3 = 36\pi\).
- واحد مساحت سطح کره، واحد طولِ مربع است (مثلاً سانتیمتر مربع) و واحد حجم، واحد طولِ مکعب (مثلاً سانتیمتر مکعب).
- اگر قطر کره را بدهند، کافی است ابتدا شعاع را نصف قطر بگیریم و بعد در فرمولها جایگذاری کنیم.
حجم هرم و مخروط
درسنامه:
حجم هر هرم یا مخروط برابر یکسومِ حاصلضرب مساحت قاعده در ارتفاع است؛ یعنی \(V = \frac{1}{3} S h\) که در آن \(S\) مساحت قاعده و \(h\) ارتفاع قائم شکل است.
- برای مخروط راست با شعاع قاعده \(r\) و ارتفاع \(h\)، چون مساحت قاعده \(\pi r^2\) است، داریم \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\).
- مثال: اگر \(r = 2\) و \(h = 9\)، آنگاه \(V = \frac{1}{3}\pi\times 2^2\times 9 = 12\pi\).
- در هرم مثلثی، مساحت قاعده را مثل یک مثلث معمولی حساب میکنیم و بعد در فرمول حجم قرار میدهیم.
- اگر ارتفاع را ندهند، گاهی با استفاده از فیثاغورس در یک مقطع قائم میتوان ارتفاع را بهدست آورد و بعد حجم را حساب کرد.
وضعیت خط و دایره
درسنامه:
برای تشخیص وضعیت یک خط نسبت به یک دایره، فاصلهٔ مرکز دایره تا خط را با شعاع \(r\) مقایسه میکنیم.
- اگر فاصلهٔ مرکز تا خط برابر شعاع باشد، خط «مماس» بر دایره است و فقط در یک نقطه آن را قطع میکند.
- اگر فاصلهٔ مرکز تا خط کمتر از شعاع باشد، خط «متقاطع» است و دایره را در دو نقطه قطع میکند.
- اگر فاصلهٔ مرکز تا خط بیشتر از شعاع باشد، خط «خارج» از دایره است و هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند.
- در دستگاه مختصات، برای پیدا کردن فاصلهٔ نقطهٔ مرکز \((x_0, y_0)\) تا خط \(ax + by + c = 0\) از فرمول \(d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) استفاده میشود و آن را با شعاع مقایسه میکنیم.