📚 داشبورد شیشهای رادیکال
فصل رادیکال ریاضی نهم – نقشهی تسلط مرحلهبهمرحله
🎯
هدف: تسلط ۱۰۰٪ بدون وابستگی به پاسخنامه
✅ پیشرفت ذخیره شد (آفلاین)
درصد تکمیل فصل رادیکال:
0%
📖
0%
شاخص تسلط
شاخص تسلط بر رادیکال
این دایره نشان میدهد چقدر روی مفاهیم ریشه دوم و سوم، سادهسازی، اعمال روی رادیکالها و حل معادلات رادیکالی مسلط شدهای. هر بار که یک مهارت را تیک میزنی، نوار رنگی یک گام به دور کامل نزدیکتر میشود.
هدف این است که بدون وابستگی به پاسخنامه، سوالات ترکیبی و امتحانی این فصل را مرحلهبهمرحله با استدلال کامل حل کنی؛ یعنی رسیدن به ۱۰۰٪ تسلط.
ریشه دوم و سوم
درسنامه:
ریشه دوم یک عدد مثبت \(a\) عددی است که اگر آن را در خودش ضرب کنیم (به توان ۲ برسانیم) \(a\) به دست آید؛
مثلا ریشه دوم \(36\) میشود \(6\) چون \(6\times 6 = 36\) است.
ریشه سوم یک عدد مثبت \(a\) عددی است که اگر آن را سه بار در خودش ضرب کنیم (توان ۳)، \(a\) به دست آید؛
مثلا ریشه سوم \(27\) میشود \(3\) چون \(3\times 3\times 3 = 27\) است.
- \(\sqrt{36} = 6\) زیرا \(6\times 6 = 36\).
- \(\sqrt{81} = 9\) زیرا \(9\times 9 = 81\).
- \(\sqrt[3]{8} = 2\) زیرا \(2\times 2\times 2 = 8\).
- \(\sqrt[3]{64} = 4\) زیرا \(4\times 4\times 4 = 64\).
سادهسازی رادیکالها
درسنامه:
عدد زیر رادیکال را تجزیه میکنیم و هر دو عامل مساوی را یکبار از رادیکال خارج میکنیم؛
این کار رادیکال را سادهتر و قابلاستفادهتر میکند.
- \(\sqrt{20} = \sqrt{4\times 5} = 2\sqrt{5}\).
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36\times 2} = 6\sqrt{2}\).
- \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\times 2} = 3\sqrt[3]{2}\).
- \(\sqrt{180} = \sqrt{36\times 5} = 6\sqrt{5}\).
ضرب و تقسیم رادیکالها
درسنامه:
وقتی فرجه دو رادیکال برابر است، میتوانیم داخل رادیکالها را در هم ضرب یا بر هم تقسیم کنیم،
سپس اگر لازم بود، نتیجه را ساده میکنیم.
- \(\sqrt{3}\times \sqrt{12} = \sqrt{3\times 12} = \sqrt{36} = 6\).
- \(\sqrt{5}\times \sqrt{15} = \sqrt{75} = \sqrt{25\times 3} = 5\sqrt{3}\).
- \(\sqrt{27} \div \sqrt{3} = \sqrt{27\div 3} = \sqrt{9} = 3\).
- \(\sqrt[3]{4}\times \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4\times 16} = \sqrt[3]{64} = 4\).
جمع و تفریق رادیکالها
درسنامه:
فقط رادیکالهای متشابه (همفرجه و با عدد یکسان زیر رادیکال) را میتوان با هم جمع یا تفریق کرد؛
در این حالت فقط ضرایب را جمع و تفریق میکنیم.
- \(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\).
- \(7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
- \(\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).
- \(5\sqrt{8} - 2\sqrt{18} = 10\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).
گویا کردن مخرج کسر
درسنامه:
در گویا کردن مخرج، کاری میکنیم که در مخرج کسر رادیکال باقی نماند؛
چون شکل استاندارد و تمیزِ کسر، مخرجِ بدون رادیکال است.
- \(\dfrac{3}{\sqrt{5}} \to \dfrac{3}{\sqrt{5}}\times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5}\).
- \(\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
- \(\dfrac{5}{\sqrt[3]{2}} \times \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \dfrac{5\sqrt[3]{4}}{2}\).
- \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\).
مقایسه اعداد رادیکالی
درسنامه:
گاهی با سادهسازی رادیکالها و گاهی با به توان رساندن، میتوانیم دو عدد رادیکالی را
با هم مقایسه کنیم و ببینیم کدام بزرگتر است.
- \(\sqrt{5} < \sqrt{7}\) چون \(5 < 7\).
- \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) و \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) پس \(3\sqrt{2} > 2\sqrt{2}\) ⇒ \(\sqrt{18} > \sqrt{8}\).
- \(\sqrt[3]{5} < \sqrt[3]{7}\) چون \(5 < 7\).
- \(\sqrt{3} \approx 1.73\) و \(\sqrt[3]{3} \approx 1.44\) پس \(\sqrt{3}\) بزرگتر است.
عبارات جبری و رادیکال / معادلات
درسنامه:
در معادلات رادیکالی، ابتدا رادیکال را تنها میکنیم، سپس دو طرف معادله را به توان مناسب
میرسانیم و در آخر جوابها را بررسی میکنیم که پذیرفتنی باشند.
- حل \(\sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25\).
- \(\sqrt{x + 4} = 6 \Rightarrow x + 4 = 36 \Rightarrow x = 32\).
- \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\).
- \(\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\).
تقریب اعشاری رادیکال
درسنامه:
برای تقریب رادیکالهایی مثل \(\sqrt{5}\) یا \(\sqrt{10}\)، از مربع کامل قبل و بعد استفاده میکنیم
و عدد تقریبی را بین آن دو حدس میزنیم.
- \(2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2\) پس \(\sqrt{5}\) بین 2 و 3 است و تقریباً \(2.2\).
- \(3^2 = 9 < 10 < 16 = 4^2\) پس \(\sqrt{10}\) بین 3 و 4 است و تقریباً \(3.16\).
- \(\sqrt{2} \approx 1.41\).
- \(\sqrt{50}\) نزدیک \(\sqrt{49}=7\) است، پس حدوداً \(7.07\).
حل نمونه سوالات نهایی
درسنامه:
این بخش ترکیبی از همه مهارتهاست: سادهسازی، جمع و تفریق، گویا کردن مخرج و حل
معادلات رادیکالی، شبیه سوالات امتحان نهایی.
- \(\sqrt{12} + 2\sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\).
- \(\sqrt{5}\times \sqrt{20} - \sqrt{45} = \sqrt{100} - 3\sqrt{5} = 10 - 3\sqrt{5}\).
- \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}\).
- \(\sqrt{x + 9} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 9} = 3 \Rightarrow x + 9 = 9 \Rightarrow x = 0\).