ریاضی پایه نهم
فصل چهارم: توان و ریشه
رادیکالها · ریشهگیری · سادهسازی عبارتهای رادیکالی
0٪
پیشرفت یادگیری
0 از 10 مبحث یاد گرفتم
مباحث فصل چهارم
مفهوم توان و پایه
تعریف · اجزا · ویژگیها
تعریف توان: وقتی یک عدد را چند بار در خودش ضرب میکنیم، نتیجه را «توان» آن عدد مینامیم. به عبارتی توان یعنی ضرب تکراری یک عدد در خودش.
aⁿ = a × a × a × ... × a (n بار)
پایه (Base)عددی که تکرار میشود. در aⁿ، عدد a پایه است.
توان یا نما (Exponent)تعداد دفعات ضرب. در aⁿ، عدد n توان است.
قدرت (Power)نتیجه کل عملیات. مثلاً ۲³ = ۸ است.
مثال
۲⁴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۱۶
۳³ = ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷
۵² = ۵ × ۵ = ۲۵
(−۲)³ = (−۲) × (−۲) × (−۲) = −۸
۳³ = ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷
۵² = ۵ × ۵ = ۲۵
(−۲)³ = (−۲) × (−۲) × (−۲) = −۸
نکات امتحانی مهم
- هر عددی به توان صفر برابر ۱ است: a⁰ = ۱ (به شرطی که a ≠ ۰)
- هر عددی به توان ۱ برابر خودش است: a¹ = a
- اگر پایه منفی باشد و توان زوج باشد، نتیجه مثبت است
- اگر پایه منفی باشد و توان فرد باشد، نتیجه منفی است
جمعبندی
توان ابزار نوشتن ضرب تکراری است. aⁿ یعنی عدد a را n بار در هم ضرب کردهایم. پایه منفی با توان زوج → مثبت، با توان فرد → منفی.
قوانین توانها
ضرب · تقسیم · توان توان · توزیع
پنج قانون اصلی توانها وجود دارد که پایه تمام محاسبات جبری هستند. یادگیری دقیق این قوانین برای فصلهای بعدی ریاضی ضروری است.
ضرب توانهای همپایه
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
تقسیم توانهای همپایه
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
توان از توان
(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
توان حاصلضرب
(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ
توان کسر
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
توان منفی
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
مثالهای کاربردی
۲³ × ۲⁴ = ۲⁷ = ۱۲۸
۵⁶ ÷ ۵² = ۵⁴ = ۶۲۵
(۳²)⁴ = ۳⁸ = ۶۵۶۱
(۲×۳)⁴ = ۲⁴ × ۳⁴ = ۱۶ × ۸۱ = ۱۲۹۶
۲⁻³ = ۱/۸
۵⁶ ÷ ۵² = ۵⁴ = ۶۲۵
(۳²)⁴ = ۳⁸ = ۶۵۶۱
(۲×۳)⁴ = ۲⁴ × ۳⁴ = ۱۶ × ۸۱ = ۱۲۹۶
۲⁻³ = ۱/۸
نکات امتحانی
- قوانین ضرب و تقسیم فقط برای پایههای یکسان صدق میکنند
- در توان از توان، نماها را ضرب میکنیم نه جمع
- توان صفر همیشه ۱ است (غیر از حالت 0⁰ که نامعین است)
- توان منفی معنی وارون است، نه عدد منفی
جمعبندی
ضرب → جمع نماها | تقسیم → تفریق نماها | توان توان → ضرب نماها | توان منفی → کسر معکوس
توان منفی و نماد علمی
تعریف · کاربرد · اعداد خیلی بزرگ/کوچک
توان منفی: a⁻ⁿ یعنی معکوس (وارون) aⁿ است. این مفهوم برای نوشتن اعداد بسیار کوچک بسیار مفید است.
نماد علمی: روشی برای نوشتن اعداد خیلی بزرگ یا خیلی کوچک در قالب a × 10ⁿ که در آن ۱ ≤ a < ۱۰ است.
نماد علمی: روشی برای نوشتن اعداد خیلی بزرگ یا خیلی کوچک در قالب a × 10ⁿ که در آن ۱ ≤ a < ۱۰ است.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ | نماد علمی: a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10)
مثالها
توان منفی:
۲⁻³ = ۱/۲³ = ۱/۸ = ۰٫۱۲۵
۱۰⁻² = ۱/۱۰۰ = ۰٫۰۱
نماد علمی:
۳۴۵۰۰۰ = ۳٫۴۵ × ۱۰⁵
۰٫۰۰۰۰۴۷ = ۴٫۷ × ۱۰⁻⁵
فاصله زمین تا خورشید ≈ ۱٫۵ × ۱۰⁸ km
۲⁻³ = ۱/۲³ = ۱/۸ = ۰٫۱۲۵
۱۰⁻² = ۱/۱۰۰ = ۰٫۰۱
نماد علمی:
۳۴۵۰۰۰ = ۳٫۴۵ × ۱۰⁵
۰٫۰۰۰۰۴۷ = ۴٫۷ × ۱۰⁻⁵
فاصله زمین تا خورشید ≈ ۱٫۵ × ۱۰⁸ km
نکات امتحانی
- در نماد علمی، ۱ ≤ a < ۱۰ (قسمت اعشاری باید بین ۱ و ۱۰ باشد)
- اگر عدد بزرگتر از ۱۰ باشد، توان ۱۰ مثبت است
- اگر عدد کمتر از ۱ باشد، توان ۱۰ منفی است
- توان منفی عدد را «کوچک» نمیکند، فقط معکوسش میکند
جمعبندی
توان منفی = معکوس | نماد علمی برای اعداد بزرگ/کوچک | توان ۱۰ مثبت → عدد > ۱۰ | توان ۱۰ منفی → عدد < ۱
ریشهگیری و مفهوم رادیکال
تعریف · انواع · ویژگیها
رادیکال (Radical): علامت √ نماد ریشهگیری است. ریشه دوم یک عدد، عددی است که وقتی به توان ۲ برسد، همان عدد اصلی را میدهد.
ریشه nام: n√a عددی است که اگر n بار در هم ضرب شود برابر a میشود.
ریشه nام: n√a عددی است که اگر n بار در هم ضرب شود برابر a میشود.
²√a = √a | ⁿ√a = a^(1/n) | (√a)² = a (a ≥ 0)
ریشه دوم (√)√۲۵ = ۵ چون ۵² = ۲۵
ریشه سوم (³√)³√۲۷ = ۳ چون ۳³ = ۲۷
ریشه چهارم (⁴√)⁴√۸۱ = ۳ چون ۳⁴ = ۸۱
مثالها
√۱۶ = ۴ (چون ۴² = ۱۶)
√۱۴۴ = ۱۲ (چون ۱۲² = ۱۴۴)
³√−۸ = −۲ (چون (−۲)³ = −۸)
√۰ = ۰ | √۱ = ۱
⁴√۱۶ = ۲ (چون ۲⁴ = ۱۶)
√۱۴۴ = ۱۲ (چون ۱۲² = ۱۴۴)
³√−۸ = −۲ (چون (−۲)³ = −۸)
√۰ = ۰ | √۱ = ۱
⁴√۱۶ = ۲ (چون ۲⁴ = ۱۶)
نکات امتحانی
- ریشه دوم اعداد منفی در اعداد حقیقی تعریف نمیشود: √(−۴) تعریف ندارد
- ریشه سوم اعداد منفی تعریف دارد: ³√(−۸) = −۲
- √a² = |a| (قدر مطلق a، نه خود a!)
- جواب √ همیشه غیرمنفی است (ریشه اصلی)
- اعداد مربع کامل: ۱، ۴، ۹، ۱۶، ۲۵، ۳۶، ۴۹، ۶۴، ۸۱، ۱۰۰
جمعبندی
√a عددی است که مربعش a میشود. ریشه دوم اعداد منفی نداریم اما ریشه فرد داریم. √a² = |a|
سادهسازی رادیکالها
قانون ضرب · خارج کردن از زیر رادیکال
سادهسازی رادیکال: هدف این است که داخل رادیکال هیچ عاملی که مربع کامل (یا توان کامل) دارد نماند. برای این کار عدد داخل رادیکال را به فاکتورهایش تجزیه میکنیم.
√(a × b) = √a × √b | √(a²b) = a√b (a ≥ 0)
روش گام به گام
مثال ۱: ساده کنید √۴۸
۴۸ = ۱۶ × ۳ = ۴² × ۳
√۴۸ = √(۱۶ × ۳) = √۱۶ × √۳ = ۴√۳
مثال ۲: ساده کنید √۷۲
۷۲ = ۳۶ × ۲ = ۶² × ۲
√۷۲ = ۶√۲
مثال ۳: ساده کنید √۱۸۰
۱۸۰ = ۴ × ۴۵ = ۴ × ۹ × ۵ = ۳۶ × ۵
√۱۸۰ = ۶√۵
۴۸ = ۱۶ × ۳ = ۴² × ۳
√۴۸ = √(۱۶ × ۳) = √۱۶ × √۳ = ۴√۳
مثال ۲: ساده کنید √۷۲
۷۲ = ۳۶ × ۲ = ۶² × ۲
√۷۲ = ۶√۲
مثال ۳: ساده کنید √۱۸۰
۱۸۰ = ۴ × ۴۵ = ۴ × ۹ × ۵ = ۳۶ × ۵
√۱۸۰ = ۶√۵
روش تجزیه به عوامل اول:
۷۲ = ۲³ × ۳² → √۷۲ = √(۲² × ۲ × ۳²) = ۲ × ۳ × √۲ = ۶√۲
۷۲ = ۲³ × ۳² → √۷۲ = √(۲² × ۲ × ۳²) = ۲ × ۳ × √۲ = ۶√۲
نکات امتحانی
- یک رادیکال ساده است وقتی هیچ عامل مربع کاملی داخل آن نباشد
- برای سادهسازی: بزرگترین مربع کامل عامل عدد را پیدا کنید
- از تجزیه به عوامل اول استفاده کنید: هر جفت فاکتور یکسان از رادیکال خارج میشود
- رادیکالهای ساده شده ضریب ثابت خارج از √ دارند
جمعبندی
برای سادهسازی: تجزیه → خارج کردن جفتها → ضرب ضرایب خارجی | هدف: داخل رادیکال هیچ عامل مربع کاملی نباشد.
جمع و تفریق رادیکالها
رادیکالهای همنوع · سادهسازی قبل از جمع
رادیکالهای همنوع (Like Radicals): رادیکالهایی که عدد داخل رادیکال و درجه رادیکال آنها یکسان باشد. این رادیکالها مانند جملات مشابه در جبر عمل میکنند و قابل جمع/تفریق هستند.
a√n ± b√n = (a ± b)√n | فقط رادیکالهای همنوع!
مثالها
مثال ۱: ۳√۵ + ۷√۵ = (۳+۷)√۵ = ۱۰√۵
مثال ۲: ۸√۳ − ۲√۳ = ۶√۳
مثال با سادهسازی:
√۱۲ + √۷۵ − √۲۷
= ۲√۳ + ۵√۳ − ۳√۳
= (۲+۵−۳)√۳ = ۴√۳
رادیکالهای غیرهمنوع:
√۲ + √۳ → قابل سادهسازی نیست!
مثال ۲: ۸√۳ − ۲√۳ = ۶√۳
مثال با سادهسازی:
√۱۲ + √۷۵ − √۲۷
= ۲√۳ + ۵√۳ − ۳√۳
= (۲+۵−۳)√۳ = ۴√۳
رادیکالهای غیرهمنوع:
√۲ + √۳ → قابل سادهسازی نیست!
نکات امتحانی
- قبل از جمع/تفریق، حتماً رادیکالها را ساده کنید
- فقط رادیکالهای همنوع (عدد داخل یکسان) قابل جمع/تفریق هستند
- √۲ + √۳ ≠ √۵ (این اشتباه رایج است!)
- مثل جملات جبری: ۳a + ۵a = ۸a → ۳√۲ + ۵√۲ = ۸√۲
جمعبندی
ابتدا سادهسازی، سپس جمع ضرایب رادیکالهای همنوع | √a ± √b ≠ √(a±b)
ضرب و تقسیم رادیکالها
قانون ضرب · قانون تقسیم · حاصلضرب اتحادی
ضرب و تقسیم رادیکالها از قوانین سادهای پیروی میکنند: میتوان عددهای داخل رادیکالهای همدرجه را با هم ضرب یا تقسیم کرد.
√a × √b = √(ab) | √a / √b = √(a/b) (a,b ≥ 0)
مثالها
ضرب ساده:
√۳ × √۱۲ = √۳₆ = ۶
۲√۵ × ۳√۵ = ۶ × (√۵)² = ۶ × ۵ = ۳۰
ضرب با سادهسازی:
۲√۳ × ۳√۶ = ۶√۱۸ = ۶ × ۳√۲ = ۱۸√۲
تقسیم:
√۵۰ / √۲ = √(۵۰/۲) = √۲۵ = ۵
۶√۱۵ / ۲√۳ = ۳√۵
اتحاد مزدوج:
(√a + √b)(√a − √b) = a − b
√۳ × √۱۲ = √۳₆ = ۶
۲√۵ × ۳√۵ = ۶ × (√۵)² = ۶ × ۵ = ۳۰
ضرب با سادهسازی:
۲√۳ × ۳√۶ = ۶√۱۸ = ۶ × ۳√۲ = ۱۸√۲
تقسیم:
√۵۰ / √۲ = √(۵۰/۲) = √۲۵ = ۵
۶√۱۵ / ۲√۳ = ۳√۵
اتحاد مزدوج:
(√a + √b)(√a − √b) = a − b
نکات امتحانی
- ضرایب را در هم ضرب کنید، عدد زیر رادیکال را هم در هم ضرب کنید
- بعد از ضرب، حتماً سادهسازی کنید
- اتحاد مزدوج کاربرد زیادی در گویا کردن مخرج دارد
- √a × √a = a (نه √(a²)!)
جمعبندی
√a × √b = √(ab) | ضرایب مجزا ضرب میشوند | بعد از ضرب → سادهسازی | (√a + √b)(√a − √b) = a − b
گویا کردن مخرج
حذف رادیکال از مخرج · مزدوج · روش ضرب
گویا کردن مخرج (Rationalizing the Denominator): فرایندی که طی آن رادیکال را از مخرج کسر حذف میکنیم. این کار استاندارد ریاضی است و جواب را به شکل سادهتر نشان میدهد.
حالت ۱: مخرج √bصورت و مخرج را در √b ضرب کن
حالت ۲: مخرج a + √bدر مزدوج آن (a − √b) ضرب کن
حالت ۳: مخرج √a + √bدر مزدوج (√a − √b) ضرب کن
a/√b = (a√b)/b | 1/(√a+√b) = (√a−√b)/(a−b)
مثالهای کامل
حالت ۱:
۳/√۵ = (۳×√۵)/(√۵×√۵) = ۳√۵/۵
حالت ۲:
۱/(۲+√۳) = (۲−√۳)/((۲+√۳)(۲−√۳)) = (۲−√۳)/(۴−۳) = ۲−√۳
حالت ۳:
۱/(√۵+√۳) = (√۵−√۳)/((√۵)²−(√۳)²) = (√۵−√۳)/(۵−۳) = (√۵−√۳)/۲
۳/√۵ = (۳×√۵)/(√۵×√۵) = ۳√۵/۵
حالت ۲:
۱/(۲+√۳) = (۲−√۳)/((۲+√۳)(۲−√۳)) = (۲−√۳)/(۴−۳) = ۲−√۳
حالت ۳:
۱/(√۵+√۳) = (√۵−√۳)/((√۵)²−(√۳)²) = (√۵−√۳)/(۵−۳) = (√۵−√۳)/۲
نکات امتحانی
- مزدوج عبارت (a + √b)، عبارت (a − √b) است
- ضرب مزدوجها: (a+√b)(a−√b) = a²−b (رادیکال حذف میشود!)
- گویا کردن مخرج جواب را تغییر نمیدهد، فقط شکل آن را عوض میکند
- بعد از گویا کردن، کسر را ساده کنید
جمعبندی
مخرج √b → ضرب در √b | مخرج دو جملهای → ضرب در مزدوج | ضرب مزدوجها رادیکال را حذف میکند
ارتباط توان کسری و ریشه
نوشتن رادیکال با توان · قوانین ترکیبی
توان کسری: هر رادیکال را میتوان با توان کسری نوشت. این ارتباط بین توان و ریشه را کامل میکند و امکان استفاده از قوانین توان را برای رادیکالها فراهم میکند.
ⁿ√a = a^(1/n) | ⁿ√aᵐ = a^(m/n) | a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
مثالها
√۹ = 9^(1/2) = ۳
³√۸ = 8^(1/3) = ۲
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = ۴
³√a² = a^(2/3)
a^(3/4) = ⁴√a³ = (⁴√a)³
سادهسازی با توان کسری:
a^(1/2) × a^(1/2) = a^1 = a → یعنی √a × √a = a ✓
³√۸ = 8^(1/3) = ۲
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = ۴
³√a² = a^(2/3)
a^(3/4) = ⁴√a³ = (⁴√a)³
سادهسازی با توان کسری:
a^(1/2) × a^(1/2) = a^1 = a → یعنی √a × √a = a ✓
نکات امتحانی
- در a^(m/n)، n درجه رادیکال است و m توان داخل رادیکال
- میتوان ابتدا ریشه گرفت سپس توان زد، یا برعکس
- قوانین توانها برای توانهای کسری هم برقرار است
- این مفهوم در پایه دهم بسیار استفاده میشود
جمعبندی
ⁿ√a = a^(1/n) | توان کسری = ریشه + توان | همه قوانین توان برای کسری هم جاری است
قضایا و نکات مهم فصل
جمعبندی · قضایای ریشه · اشتباهات رایج
این بخش جمعبندی قضایا، نکات و اشتباهات رایج فصل چهارم است. مرور این قسمت قبل از امتحان بسیار مفید است.
√(a²) = |a|
√(x²) = |x| ≥ 0
ریشه ضرب
√(ab) = √a·√b
ریشه تقسیم
√(a/b) = √a/√b
مزدوج رادیکالی
(√a+√b)(√a-√b)=a-b
اشتباهات رایج که نباید بکنید!
- ❌ √(a+b) ≠ √a + √b (ریشه جمع، جمع ریشهها نیست!)
- ❌ √(a²+b²) ≠ a+b (این اشتباه بسیار رایج است!)
- ❌ (√a)² ≠ √(a²) در همه حالات یکسان نیستند
- ❌ √(−۴) در اعداد حقیقی معنی ندارد
- ✅ √a × √a = a همیشه درست است (a ≥ 0)
- ✅ √(a²) = |a| نه a (ممکن است a منفی باشد)
مسائل ترکیبی
مسئله ۱: (√۵ + ۲)(√۵ − ۲) = ۵ − ۴ = ۱
مسئله ۲: (۲√۳ + √۵)² = ۱۲ + ۴√۱۵ + ۵ = ۱۷ + ۴√۱۵
مسئله ۳: گویا کن: (۳+√۲)/(√۲−۱)
= (۳+√۲)(√۲+۱) / ((√۲−۱)(√۲+۱))
= (۳√۲+۳+۲+√۲) / (۲−۱)
= ۴√۲ + ۵
مسئله ۲: (۲√۳ + √۵)² = ۱۲ + ۴√۱۵ + ۵ = ۱۷ + ۴√۱۵
مسئله ۳: گویا کن: (۳+√۲)/(√۲−۱)
= (۳+√۲)(√۲+۱) / ((√۲−۱)(√۲+۱))
= (۳√۲+۳+۲+√۲) / (۲−۱)
= ۴√۲ + ۵
جمعبندی کلی فصل
توان → قوانین ۵ گانه | ریشه ↔ توان کسری | سادهسازی → تجزیه | جمع/تفریق → همنوع | تقسیم مخرج → مزدوج
فرمولهای مهم فصل چهارم
قوانین توانها
ضرب همپایه
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
تقسیم همپایه
aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
توان توان
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
توان ضرب
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
توان کسر
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
توان صفر
a⁰ = 1 (a≠0)
توان منفی
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
توان کسری
a^(m/n) = ⁿ√aᵐ
قوانین رادیکال
رادیکال و توان
ⁿ√a = a^(1/n)
ضرب رادیکال
√a · √b = √(ab)
تقسیم رادیکال
√a / √b = √(a/b)
مربع رادیکال
(√a)² = a
ریشه مربع
√(a²) = |a|
رادیکال همنوع
a√n ± b√n = (a±b)√n
گویا کردن ساده
a/√b = a√b/b
اتحاد مزدوج
(√a+√b)(√a-√b)=a-b
اعداد مربع کامل مهم
1²
√1 = 1
2²
√4 = 2
3²
√9 = 3
4²
√16 = 4
5²
√25 = 5
6²
√36 = 6
7²
√49 = 7
8²
√64 = 8
9²
√81 = 9
10²
√100=10
11²
√121=11
12²
√144=12
نماد علمی
a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n ∈ ℤ)
عدد بزرگ (n > 0)345000 = 3.45 × 10⁵
عدد کوچک (n < 0)0.000047 = 4.7 × 10⁻⁵
تمرین و آزمون فصل چهارم
امتیاز آزمون
تعداد پاسخ درست
۰ / ۸
سؤال ۱ از ۸ — مفهوم توان
مقدار ۲⁵ کدام است؟
سؤال ۲ از ۸ — قوانین توان
حاصل ۳² × ۳³ چیست؟
سؤال ۳ از ۸ — ریشهگیری
مقدار √۱۴۴ کدام است؟
سؤال ۴ از ۸ — سادهسازی رادیکال
فرم سادهشده √۷۲ کدام است؟
سؤال ۵ از ۸ — جمع رادیکال
حاصل √۱۲ + √۷۵ چیست؟
سؤال ۶ از ۸ — ضرب رادیکال
حاصل √۳ × √۲۷ چیست؟
سؤال ۷ از ۸ — گویا کردن مخرج
فرم گویا شده ۱÷√۵ چیست؟
سؤال ۸ از ۸ — توان کسری
مقدار 8^(2/3) کدام است؟
مرور سریع شب امتحان
مهمترین نکات و فرمولها برای مرور آخر
قوانین توان
۱
ضرب توانهای همپایه → نماها جمع میشوند
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | مثال: 2³×2⁴ = 2⁷
۲
تقسیم توانهای همپایه → نماها کم میشوند
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | مثال: 5⁶÷5² = 5⁴
۳
توان از توان → نماها ضرب میشوند
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | مثال: (3²)⁴ = 3⁸
۴
توان منفی = وارون
a⁻ⁿ = 1/aⁿ | مثال: 2⁻³ = 1/8
قوانین رادیکال
۵
ریشه دوم یعنی توان 1/2
√a = a^(1/2) | ⁿ√a = a^(1/n)
۶
ضرب رادیکالهای همدرجه
√a × √b = √(ab) | √6 × √6 = 6
۷
سادهسازی: فاکتور مربع کامل را خارج کن
√48 = √(16×3) = 4√3
۸
جمع رادیکال: فقط همنوع
3√5 + 7√5 = 10√5 | √2 + √3 ≠ √5
۹
گویا کردن مخرج با مزدوج
1/(√a+√b) = (√a−√b)/(a−b)
۱۰
√(a²) = |a| نه a!
√(x²) = |x| | اگر x<0 باشد: √(x²) = -x
اشتباهات رایج در امتحان
❌
√(a+b) ≠ √a + √b
❌
√(-4) در ℝ تعریف نشده
❌
aᵐ × bⁿ ≠ (ab)ᵐ⁺ⁿ (پایهها باید یکسان باشند)
✅
√a × √a = a (همیشه درست)
✅
a⁰ = 1 (برای هر a ≠ 0)
🎯 نکات طلایی برای امتحان
✦ مربع کاملها را حفظ کنید: ۱، ۴، ۹، ۱۶، ۲۵، ۳۶، ۴۹، ۶۴، ۸۱، ۱۰۰، ۱۲۱، ۱۴۴
✦ قبل از جمع/تفریق رادیکال، همیشه ابتدا ساده کنید
✦ برای گویا کردن مخرج: مخرج یک جملهای → در √b ضرب کن | دو جملهای → در مزدوج ضرب کن
✦ توان کسری: m/n → ریشه nام از a به توان m
✦ در سادهسازی رادیکال: از بزرگترین مربع کامل عامل استفاده کن