فصل ۴: توان و ریشه
آموزش جامع، تعاملی و کامل — از مفهوم تا تمرین
تعریف
توان نشان میدهد یک عدد (پایه) چند بار در خودش ضرب میشود. aⁿ یعنی a را n بار در خودش ضرب میکنیم.
۲⁴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۱۶
۳³ = ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷
۵² = ۵ × ۵ = ۲۵
- هر عددی به توان صفر برابر ۱ است (a⁰ = 1)
- هر عددی به توان ۱ برابر خودش است (a¹ = a)
- پایه میتواند منفی، کسری یا اعشاری باشد
- توان منفی عدد منفی: اگر توان زوج باشد نتیجه مثبت است
شکل آموزشی
قوانین اصلی
- ضرب همپایه: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- تقسیم همپایه: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- توان از توان: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
- توان ضرب: (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ
- توان کسر: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
۲³ × ۲⁴ = ۲⁷ = ۱۲۸
۳⁵ ÷ ۳² = ۳³ = ۲۷
(۲³)² = ۲⁶ = ۶۴
(۲×۳)² = ۴ × ۹ = ۳۶
- قوانین ضرب/تقسیم فقط برای همپایهها اعمال میشود
- برای جمع توانها قانون خاصی نداریم!
- توان توان: توانها ضرب میشوند نه جمع
شکل آموزشی
۲⁻³ = 1/2³ = 1/8 = ۰.۱۲۵
۳⁻² = 1/9
4^(1/2) = √4 = 2
8^(1/3) = ³√8 = 2
27^(2/3) = (³√27)² = 3² = 9
- توان منفی = عکس (نه منفی شدن عدد)
- a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
- برای a^(1/n) لازم است a ≥ 0 (اگر n زوج)
شکل آموزشی
۶۰۰۰۰۰۰ = 6 × 10⁶
۰.۰۰۳۵ = 3.5 × 10⁻³
فاصله زمین تا خورشید ≈ 1.5 × 10⁸ km
- عدد a باید بین ۱ و ۱۰ باشد (شامل ۱، خارج از ۱۰)
- اعداد بزرگ → توان مثبت ۱۰
- اعداد کوچکتر از ۱ → توان منفی ۱۰
شکل آموزشی
رادیکال یا ریشه عملیاتی است که عکس توانگیری است. ⁿ√a یعنی عددی که وقتی به توان n برسد، برابر a میشود.
√25 = 5 چون 5² = 25
√81 = 9 چون 9² = 81
³√27 = 3 چون 3³ = 27
⁴√16 = 2 چون 2⁴ = 16
- ریشه زوج از عدد منفی در اعداد حقیقی تعریف نمیشود
- ریشه فرد از عدد منفی میتواند منفی باشد
- √a همیشه غیرمنفی است (جواب اصلی)
شکل آموزشی
برای سادهسازی: عدد زیر رادیکال را به عوامل اول تجزیه میکنیم، سپس جفتها را از زیر رادیکال بیرون میآوریم.
√48 = √(16×3) = 4√3
√72 = √(36×2) = 6√2
√200 = √(100×2) = 10√2
√12 = √(4×3) = 2√3
- بزرگترین مربع کامل زیر رادیکال را پیدا کن
- رادیکال سادهشده باید فاکتور مربع نداشته باشد
- √(a/b) = √a/√b (b≠0)
شکل آموزشی
رادیکالها را میتوان جمع یا تفریق کرد فقط اگر عدد زیر رادیکالشان یکسان باشد (همنوع).
3√2 + 5√2 = 8√2
√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
4√5 - √5 = 3√5
√18 - √8 = 3√2 - 2√2 = √2
- اول ساده کن، بعد جمع کن
- √2 + √3 ≠ √5 (اشتباه رایج!)
- فقط همنوعها با هم جمع میشوند
شکل آموزشی
√6 × √6 = 6
√3 × √12 = √36 = 6
2√5 × 3√5 = 6 × 5 = 30
√20 ÷ √5 = √4 = 2
(√7)² = 7
- (√a)² = a (مهمترین رابطه)
- ضرب ضرایب جداگانه انجام میشود
- نتیجه را همیشه ساده کن
شکل آموزشی
گویا کردن مخرج یعنی رادیکال را از مخرج حذف کنیم. کافی است صورت و مخرج را در همان رادیکال مخرج ضرب کنیم.
3/√2 = (3×√2)/(√2×√2) = 3√2/2
1/√5 = √5/5
6/√3 = 6√3/3 = 2√3
2/(√7-√3) = 2(√7+√3)/4 = (√7+√3)/2
- مخرج دوجملهای: در مزدوج ضرب کن (a+b)(a-b) = a²-b²
- مزدوج √7-√3 برابر √7+√3 است
- هدف: مخرج باید گویا (بدون رادیکال) شود
شکل آموزشی
(2³ × 2⁴) / 2⁵ = 2^(3+4-5) = 2² = 4
√50 + √18 - √8
= 5√2 + 3√2 - 2√2
= 6√2
4/(√5+1) = 4(√5-1)/((√5)²-1²)
= 4(√5-1)/(5-1)
= 4(√5-1)/4 = √5-1
(27)^(2/3) = (³√27)² = 3² = 9
پایه: a | توان: n | a⁰=1 | a¹=a
توانها جمع میشوند | پایه یکسان لازم
توانها تفریق میشوند | پایه یکسان لازم
توانها ضرب میشوند | نه جمع!
معکوس است نه منفیشدن | (a≠0)
ریشه = عکس توان | (√a)² = a
مربع کامل را از زیر √ بیرون بکش
فقط همنوعها جمع میشوند
عددهای زیر رادیکال ضرب میشوند
مخرج و صورت را در √a ضرب کن
اعداد بزرگ: توان مثبت | کوچک: توان منفی
رادیکالهای غیرهمنوع جمع نمیشوند!