فصل ۸: حجم و مساحت
ریاضی پایه نهم — آموزش جامع، تعاملی و مرور شب امتحان
پایه نهم · دوره اول متوسطهحجم یک جسم سهبعدی، میزان فضایی است که آن جسم اشغال میکند. حجم را با حرف V نشان میدهند.
مثال ساده
مکعبی با ضلع ۳ سانتیمتر:
حجم = ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷ سانتیمتر مکعب
نکات امتحانی
- واحد حجم، مکعب واحد طول است (cm³، m³)
- حجم همیشه عدد مثبت است
- هر ۱ متر مکعب = یک میلیون سانتیمتر مکعب
منشور یک جسم سهبعدی است که قاعدههای موازی و یکسان دارد و وجههای جانبی آن متوازیالاضلاعاند.
مثال: منشور مثلثی
قاعده مثلث با a = ۶ سانتیمتر، ارتفاع مثلث = ۴ سانتیمتر و ارتفاع منشور = ۱۰ سانتیمتر:
مساحت قاعده = ½ × ۶ × ۴ = ۱۲ سانتیمتر مربع
حجم = ۱۲ × ۱۰ = ۱۲۰ سانتیمتر مکعب
نکات امتحانی
- ارتفاع منشور با ارتفاع قاعده فرق دارد
- مکعب و مکعبمستطیل هر دو منشور چهارضلعیاند
- مساحت جانبی = محیط قاعده × ارتفاع
هرم جسمی است که قاعدهای دارد و تمام وجههای جانبی آن مثلثاند که در یک نقطه (رأس) به هم میرسند.
مثال: هرم مربعی
قاعده مربع با ضلع ۶ سانتیمتر و ارتفاع ۹ سانتیمتر:
مساحت قاعده = ۶² = ۳۶ سانتیمتر مربع
حجم = ⅓ × ۳۶ × ۹ = ۱۰۸ سانتیمتر مکعب
نکات امتحانی
- ضریب ⅓ را فراموش نکنید!
- ارتفاع هرم عمود بر قاعده است
- مخروط = هرم با قاعده دایرهای
- خط فراز ≠ ارتفاع (مراقب باشید)
کره یک جسم سهبعدی است که تمام نقاط سطح آن با مرکز فاصله یکسانی دارند. این فاصله را شعاع (r) میگویند.
مثال: کره با r = ۳ سانتیمتر
حجم = ⁴⁄₃ × ۳٫۱۴ × ۳³ = ⁴⁄₃ × ۳٫۱۴ × ۲۷ ≈ ۱۱۳ سانتیمتر مکعب
مساحت = ۴ × ۳٫۱۴ × ۹ ≈ ۱۱۳ سانتیمتر مربع
نکات امتحانی
- r³ یعنی شعاع به توان ۳، نه ضربدر ۳!
- نیمکره: حجم = ⅔πr³ و مساحت کل = ۳πr²
- قطر = ۲r را با شعاع اشتباه نگیرید
مساحت جانبی فقط سطح دیوارههای اطراف جسم است. مساحت کلی شامل قاعدهها هم میشود.
مثال: مساحت کلی مکعبمستطیل
ابعاد ۳ × ۴ × ۵ سانتیمتر:
مساحت کلی = ۲(۳×۴ + ۴×۵ + ۳×۵) = ۲(۱۲ + ۲۰ + ۱۵) = ۹۴ سانتیمتر مربع
نکات امتحانی
- خط فراز l ≠ ارتفاع h در مخروط
- مساحت کلی = جانبی + ۲ × مساحت قاعده (منشور)
- مساحت کلی استوانه = ۲πr² + ۲πrh
استوانه یک منشور با قاعده دایرهای است. قاعدههای آن دو دایره موازی و مساویاند که با سطح جانبی به هم متصلاند.
مثال: r = ۵ سانتیمتر، h = ۸ سانتیمتر
حجم = ۳٫۱۴ × ۲۵ × ۸ = ۶۲۸ سانتیمتر مکعب
مساحت = ۲ × ۳٫۱۴ × ۵ × (۵ + ۸) = ۶٫۲۸ × ۶۵ ≈ ۴۰۸ سانتیمتر مربع
نکات امتحانی
- استوانه = منشور با قاعده دایره
- r² را با r اشتباه نگیرید
- مساحت جانبی = محیط قاعده × ارتفاع = ۲πr × h
برای تبدیل واحدها باید دقت کرد که در مساحت توان ۲ و در حجم توان ۳ لازم است.
| نوع | رابطه |
|---|---|
| طول | ۱ متر = ۱۰۰ سانتیمتر = ۱۰ دسیمتر |
| مساحت | ۱ متر مربع = ۱۰٬۰۰۰ سانتیمتر مربع |
| حجم | ۱ متر مکعب = ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ سانتیمتر مکعب |
| لیتر | ۱ لیتر = ۱ دسیمتر مکعب = ۱۰۰۰ سانتیمتر مکعب |
قانون طلایی
- طول: ضریب ۱۰ (هر پله)
- مساحت: ضریب ۱۰۰ (هر پله)
- حجم: ضریب ۱۰۰۰ (هر پله)
ماشینحساب حجم و مساحت
منشور چهارضلعی (جعبه)
استوانه
کره
هرم مربعی
مخروط
تبدیل واحد حجم
مرور سریع شب امتحان — خلاصه فرمولها
مکعبمستطیل
حجم = طول × عرض × ارتفاع مساحت = ۲(lw + wh + lh)سه ضلع متفاوت، شش وجه مستطیلی
مکعب
حجم = a³ مساحت = ۶a²همه اضلاع مساوی = a
هرم
حجم = ⅓ × مساحت قاعده × ارتفاعیک سوم حجم منشور متناظر
مخروط
حجم = ⅓ × π × r² × h مساحت جانبی = π × r × ll² = r² + h² (قضیه فیثاغورس)
استوانه
حجم = π × r² × h مساحت کلی = ۲πr(r + h)منشور با قاعده دایرهای
کره
حجم = ⁴⁄₃ × π × r³ مساحت = ۴ × π × r²r = شعاع | قطر = ۲r
تبدیل واحد
۱ متر مکعب = ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ سانتیمتر مکعب ۱ دسیمتر مکعب = ۱ لیترمساحت: ×۱۰۰ | حجم: ×۱۰۰۰ در هر پله
منشور مثلثی
حجم = مساحت مثلث × ارتفاع منشور مساحت مثلث = ½ × پایه × ارتفاع مثلثارتفاع مثلث ≠ ارتفاع منشور
نکات طلایی امتحان
- هرم و مخروط: ضریب ⅓ را فراموش نکن
- کره: r³ نه r×۳
- خط فراز l ≠ ارتفاع h
- واحد حجم: سانتیمتر مکعب (cm³)
- π ≈ ۳٫۱۴ یا ۲۲/۷
- مساحت کلی = جانبی + قاعدهها
- مکعب = منشور چهارضلعی با اضلاع مساوی
- استوانه = منشور با قاعده دایرهای