📙 پایه نهم • ریاضی • فصل هفتم
فصل هفتم: عبارتهای گویا
آموزش کامل و تعاملی فصل هفتم ریاضی نهم؛ شامل تعریف عبارت گویا، شرط تعریف، ساده کردن، ضرب و تقسیم، جمع و تفریق، نکات امتحانی، تمرین و آزمون تستی.
📘 تعریف
🚫 مقادیر غیرمجاز
✂️ سادهسازی
✖️ ضرب و تقسیم
➕ جمع و تفریق
🎯 آزمون
📗 معرفی فصل هفتم
در فصل هفتم ریاضی نهم با عبارتهای گویا آشنا میشویم. عبارت گویا نوعی کسر جبری است که صورت و مخرج آن چندجملهای هستند.
- تشخیص عبارت گویا از غیرگویا
- پیدا کردن مقادیر غیرمجاز
- ساده کردن عبارتهای گویا
- انجام چهار عمل اصلی روی آنها
🎯 هدف فصل:
بتوانی هر عبارت گویا را تحلیل کنی، ساده کنی و عملیات اصلی را درست انجام بدهی.
📘 عبارت گویا چیست؟
هر عبارت کسری که صورت و مخرج آن چندجملهای باشند، یک عبارت گویا نام دارد؛ به شرطی که مخرج صفر نشود.
✅ نمونههای گویا
x + 2x - 1 ,
a² - 4a + 2 ,
3m + 1m² - 9
❌ نمونههای غیرگویا
√x3 ,
1√x + 1
چون متغیر زیر رادیکال آمده و چندجملهای نیست.
🔸 نکته: مهمترین شرط: مخرج برابر صفر نشود.
🚫 شرط تعریف و مقادیر غیرمجاز
مخرج را بررسی میکنیم و هر مقداری که مخرج را صفر کند، غیرمجاز است.
مثال ۱
x + 1x - 4
⇒ x ≠ 4
مثال ۲
x² - 1x² - 4
⇒ x ≠ 2 , -2
مثال ۳
5m(m + 4)
⇒ m ≠ 0 , -4
⚠️ خیلی مهم:
شرط تعریف از روی عبارت اولیه به دست میآید. حتی بعد از سادهسازی حذف نمیشود.
✂️ ساده کردن عبارتهای گویا
صورت و مخرج را تجزیه میکنیم و سپس عاملهای مشترک را حذف میکنیم.
مراحل سادهسازی
- شرط تعریف را از روی مخرج پیدا کن.
- صورت و مخرج را با اتحادها یا فاکتورگیری تجزیه کن.
- فقط عامل مشترک (ضربی) را حذف کن.
- جواب نهایی + شرط تعریف بنویس.
مثال ۱
x² - 9x - 3 =
(x-3)(x+3)x-3 =
x + 3 , x ≠ 3
مثال ۲
a² - 4a + 4a - 2 =
(a-2)(a-2)a-2 =
a - 2 , a ≠ 2
✅ یادآوری:
فقط وقتی میتوانی چیزی حذف کنی که به صورت ضرب نوشته شده باشد.
⛔ اشتباه رایج:
در (x+3)/(x+5) نمیتوان چیزی خط زد.
✖️➗ ضرب و تقسیم عبارتهای گویا
ضرب: صورت×صورت، مخرج×مخرج | تقسیم: معکوس کن و ضرب کن.
مثال ضرب
xx+1 ×
x²-1x =
xx+1 ×
(x-1)(x+1)x =
x - 1 , x ≠ 0,-1
مثال تقسیم
a²-9a²+3a ÷
a-3a =
(a-3)(a+3)a(a+3) ×
aa-3 =
1 , a ≠ 0,-3,3
🔸 نکته امتحانی:
قبل از ضرب حتماً تجزیه کن؛ سادهسازی خیلی راحتتر میشود.
➕➖ جمع و تفریق عبارتهای گویا
برای جمع و تفریق باید مخرج مشترک بگیریم.
مخرجها مساوی
3x-2 +
5x-2 =
8x-2 , x ≠ 2
مخرجها متفاوت
2x+1 +
3x-1 =
2(x-1)+3(x+1)(x+1)(x-1) =
5x+1x²-1 , x ≠ 1,-1
تفریق
aa+2 -
1a+2 =
a-1a+2 , a ≠ -2
⛔ اشتباه رایج:
مخرجها را جمع نمیکنیم. فقط بعد از مخرج مشترک، صورتها تغییر میکنند.
🧠 خلاصه طلایی فصل هفتم
| موضوع | قانون اصلی | نکته مهم |
|---|---|---|
| تعریف | صورت و مخرج چندجملهای | مخرج ≠ 0 |
| شرط تعریف | مخرج را صفر نکن | مقادیر غیرمجاز از عبارت اولیه |
| سادهسازی | تجزیه + حذف عامل مشترک | فقط عامل ضربی حذف شود |
| ضرب | صورت×صورت ، مخرج×مخرج | تجزیه قبل از ضرب |
| تقسیم | معکوس + ضرب | شرط هر دو کسر |
| جمع/تفریق | مخرج مشترک | صورتها تغییر، مخرج نه |
📝 مثالهای حلشده
مثال ۱: شرط تعریف
2x-1x²-4
⇒ (x-2)(x+2) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2,-2
مثال ۲: سادهسازی
m²-16m-4 =
(m-4)(m+4)m-4 =
m+4 , m ≠ 4
مثال ۳: ضرب
2xx²-1 ×
x+14 =
x2(x-1) , x ≠ 1,-1
مثال ۴: جمع
1x +
1y =
x+yxy , x≠0,y≠0
🏁 تمرین فصل هفتم
تمرینها را حل کن و سپس پاسخ را ببین.
۱) شرط تعریف:
x+2x-5
۲) ساده کن:
a²-9a-3
۳) ساده کن:
m²-4m+4m-2
۴) ضرب:
2xx²-1 ×
x+14
۵) تقسیم:
m²-16m²+4m ÷
m-4m
۶) جمع:
3a+1 +
1a-1
۷) تفریق:
bb-2 -
2b-2
۸) جمع:
1x +
2x
پاسخ تمرینها:
- x ≠ 5
- a + 3 ، شرط a ≠ 3
- m - 2 ، شرط m ≠ 2
- x / [2(x-1)] ، شرط x ≠ 1,-1
- 1 ، شرط m ≠ 0,-4,4
- (4a-2) / (a²-1) ، شرط a ≠ 1,-1
- 1 ، شرط b ≠ 2
- 3/x ، شرط x ≠ 0
🎯 آزمون تستی فصل هفتم
گزینه درست را انتخاب کن و نمرهات را ببین.
۱) کدامیک عبارت گویاست؟
۲) شرط تعریف (x+2)/(x²-9) چیست؟
۳) عبارت (x²-4)/(x-2) پس از ساده شدن:
۴) در تقسیم عبارتهای گویا:
۵) حاصل 1/x + 2/x کدام است؟
💡 نکات مهم و سوالات پرتکرار
شرط تعریف از روی عبارت اولیه به دست میآید. اگر مخرج اولیه برای مقداری صفر شود،
آن مقدار همیشه غیرمجاز است؛ حتی اگر در فرم سادهشده دیده نشود.
فقط عاملهای مشترک ضربی. در (x-3)(x+2)/(x-3) میتوان
(x-3) را حذف کرد، اما در (x+3)/(x+5) خیر.
اگر عبارتی ساده میشود، اول آن را ساده کن تا ادامه کار کوتاهتر شود.
- فراموش کردن شرط تعریف
- حذف جملهها به جای عاملها
- جمع کردن مخرجها در جمع و تفریق