ریاضی نهم — فصل ۳
درس ۶: خط و معادله خطی
آشنایی با مفهوم معادله خطی، رسم نمودار و کاربردهای آن
y = ax + b
فرمول کلی معادله خطی (شکل شیب-عرض از مبدأ)
شیب خط (a)
میزان تندی یا کندی خط را نشان میدهد. شیب مثبت → خط صعودی، شیب منفی → خط نزولی
عرض از مبدأ (b)
نقطهای که خط از محور y عبور میکند. وقتی x = 0 باشد، مقدار y برابر b است.
نمودار خطی
هر معادله خطی در صفحه مختصات یک خط راست ایجاد میکند که با دو نقطه قابل رسم است.
نمودار تعاملی معادله خطی
شیب خط (a)
1
عرض از مبدأ (b)
0
معادله: y = x
شیب: ۱
عرض از مبدأ: ۰
نوع: صعودی
🔹 معادله خطی چیست؟
معادلهای که بتوان آن را به شکل y = ax + b نوشت، یک معادله خطی نامیده میشود. نمودار این معادله همواره یک خط راست در صفحه مختصات است.
🔹 اجزای معادله خطی
- a (شیب خط): ضریب x در معادله است. شیب نشاندهندهی تغییرات y به ازای تغییرات x است.
- b (عرض از مبدأ): مقدار ثابت معادله. نقطهی تقاطع خط با محور عمودی (محور y) را مشخص میکند.
- x (متغیر مستقل): مقداری که آزادانه انتخاب میشود و روی محور افقی قرار میگیرد.
- y (متغیر وابسته): مقداری که بسته به x محاسبه میشود و روی محور عمودی قرار میگیرد.
🔹 انواع شیب
| شیب | نوع خط | توضیح |
|---|---|---|
| a > 0 | صعودی ↗ | با افزایش x، مقدار y زیاد میشود |
| a < 0 | نزولی ↘ | با افزایش x، مقدار y کم میشود |
| a = 0 | افقی → | خط موازی محور x و y ثابت است |
🔹 نحوه رسم نمودار خطی
✅ برای رسم نمودار یک معادله خطی، کافی است حداقل دو نقطه از معادله را به دست آورید، آنها را در صفحه مختصات مشخص کنید و سپس از آنها خطی عبور دهید.
🔹 جدول مقادیر
برای معادله y = 2x + 1:
| x | محاسبه | y | نقطه |
|---|---|---|---|
| -2 | 2(-2)+1 | -3 | (-2, -3) |
| -1 | 2(-1)+1 | -1 | (-1, -1) |
| 0 | 2(0)+1 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 2(1)+1 | 3 | (1, 3) |
| 2 | 2(2)+1 | 5 | (2, 5) |
🔹 نکات مهم
- اگر شیب دو خط برابر باشد، آن دو خط موازی هستند.
- اگر حاصلضرب شیب دو خط برابر -1 باشد، آن دو خط عمود بر یکدیگرند.
- هر خطی که از مبدأ مختصات عبور کند، عرض از مبدأ آن b = 0 است.
- معادله x = k یک خط عمودی است که معادله خطی استاندارد نیست.
✏️ مثالهای حلشده
-
مثال ۱: رسم نمودار y = x + 2ابتدا دو نقطه انتخاب میکنیم:
وقتی x = 0 → y = 2 → نقطه (0, 2)
وقتی x = -2 → y = 0 → نقطه (-2, 0)
این دو نقطه را در صفحه مختصات مشخص کرده و خط را رسم میکنیم.
شیب = 1 (صعودی) و عرض از مبدأ = 2 -
مثال ۲: تعیین معادله خط از روی نموداراگر خطی از نقاط (1, 3) و (3, 7) عبور کند:
شیب: a = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2
عرض از مبدأ: 3 = 2(1) + b → b = 1
معادله خط: y = 2x + 1 -
مثال ۳: خطوط موازیدو خط y = 3x + 1 و y = 3x - 4
چون شیب هر دو a = 3 است، این دو خط موازی هستند و هیچگاه یکدیگر را قطع نمیکنند. -
مثال ۴: پیدا کردن نقطه تقاطع با محورهابرای معادله y = -2x + 4:
تقاطع با محور y: x = 0 → y = 4 → نقطه (0, 4)
تقاطع با محور x: y = 0 → 0 = -2x + 4 → x = 2 → نقطه (2, 0)
❓ سؤال ۱: شیب خط y = 3x - 5 چقدر است؟
❓ سؤال ۲: خط y = -x + 2 از کدام نقطه روی محور y عبور میکند؟
❓ سؤال ۳: کدام دو خط موازی هستند؟
❓ سؤال ۴: اگر شیب خطی صفر باشد، نمودار آن چگونه است؟
❓ سؤال ۵: معادله خطی که از نقاط (0, 1) و (2, 5) عبور میکند چیست؟
0
از ۵ سؤال